Минков родился в Москве в 1944 году. В 1964 году он поступил на обучение в консерваторию, где и написал свои первые серьезные работы. В 1970 году, после завершения обучения, Минков был принят в Союз композиторов СССР. В том же году он получил предложение написать музыку для телефильма «Следствие ведут знатоки». Первые серии этого телефильма были представлены зрителям в 1971 году.

Позже Минков поработал над саундтреками к более чем 100 картинам. В частности, его музыка звучит в фильмах «В зоне особого внимания», «Незнайка с нашего двора», «Делай — раз!» и «Проделки в старинном духе». В разные годы композитор также сотрудничал с театрами (например, с детским музыкальным театром имени Сац, театром Антона Чехова и с Московским драматическим театром имени Пушкина).

С 2003 года Марк Минков носил звание Народного артиста России. Минков также являлся президентом Гильдии композиторов кино.